Ejercicios de Máximo y Mínimos

Dadas las funciones calcular:

a). El punto máximo y mínimo relativo (por cualquiera de los 2 criterios)

b). La grafica.

c). El intervalo de crecimiento y decrecimiento.

1). f(x)=4x²+6x+3

2). f(x)=-2x³+2x²+3x+1

3). f(x)=6x³+15x²-6

4). f(x)=2x³+5x²-8

5). f(x)=2x³+6x2+4x

6). f(x)=3x³+7x²+4x+2

7). f(x)=12x³-12x²

8). f(x)=12x³-18x<sup>2


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CONCEPTOS BÁSICOS

Función creciente:

• Una función y=f(x) se llama función creciente, si y aumenta (algebraicamente) cuando x aumenta.
• Una función se dice que es creciente si f´(x)>0 para toda x en el intervalo abierto (a,b)
• Si una función y=f(x), tiene derivada positiva en un punto (x1), es creciente en dicho punto.

Función decreciente:

• Una función y=f(x) se llama función decreciente, si y disminuye (algebraicamente) cuando x aumenta.
• Una función se dice que es decreciente si f´(x)<0 para toda x en el intervalo abierto (a,b)
• Si una función y=f(x), tiene derivada negativa en un punto (x1), es decreciente en dicho punto.

Concavidad y convexidad

Para determinar la concavidad o convexidad de una curva, hallamos la segunda derivada.

Si y´´ es positiva es cóncava

Si y´´ es negativa es convexa

Máximo relativo

Una función y=f(x) tiene un máximo relativo en el punto (x1), cuando la ordenada en dicho punto es mayor que la de los puntos próximos a uno y a otro lado de (x1).

Mínimo relativo

Una función y=f(x) tiene un mínimo relativo en el punto (x1), cuando la ordenada en dicho punto es menor que la de los puntos próximos a uno y a otro lado de (x1).

CALCULO DE MÁXIMO Y MÍNIMO

Primer método o criterio de la primera derivada:

a). Se halla la primera derivada de la función

b). Se iguala a cero (0) y se resuelve la ecuación resultante.

c). Se sustituye en la primera derivada las raíces con valores un poco menor y después un poco mayor que el valor exacto de la raíz. Si el valor de la derivada es primero + (positivo) y después – (negativo), la función tiene un máximo, y en caso contrario, un mínimo.

Segundo método o criterio de la segunda derivada:

a). Se halla la primera derivada.

b). Se iguala a cero (0) y se resuelve la ecuación resultante.

c). Se halla la segunda derivada.

d). Se halla el valor numérico de la segunda derivada para x igual a las raíces reales de la primera derivada.

e). Si el valor numérico de la segunda derivada es negativo, la función tiene un MÁXIMO relativo, y el valor numérico es positivo, la función tiene un MÍNIMO relativo.

Máximo absoluto

Valor de una función dada, que es mayor o igual que cualquier valor de la función dada, es decir, es el mayor de todos los valores.

Mínimo absoluto

Valor de una función dada, que es menor o igual que cualquier valor de la función dada, es decir, es el menor de todos los valores.

Punto de inflexión

Un punto de inflexión es aquel donde la función derivada tiene un máximo o mínimo, es decir, un punto singular. Se dice que la función tiene un cambio en la concavidad.